Народився 26 жовтня 1974 в селі Доброводи Збаразького району Тернопільської області.
1991—1996 — навчався на юридичному факультеті Чернівецького університету, де познайомився з Арсенієм Яценюком. Після навчання, у 1996—2000 лишався в ньому викладачем-стажистом та асистентом кафедри конституційного, адміністративного та фінансового права.
Пишний є кандидатом юридичних наук (захистив дисертацію на тему «Правовий статус державних банків України»).
2000 — очолив юридичне управління «Ощадбанку» та переїхав до Києва. 2001 року став директором департаменту правового забезпечення «Ощадбанку».
У 2003—2007 був першим заступником голови правління «Ощадбанку». З грудня 2004 до травня 2005 виконував обов'язки голови «Ощадбанку». У 2005 закінчив Українську академію банківської справи НБУ (банківська справа).
У 2006 році Пишний підготував і узгодив з Наглядовою радою стратегію розвитку банку, яка передбачала реформу корпуправління банку і введення в Наглядову раду незалежних директорів.
З березня до травня 2007 був першим заступником голови правління ВАТ «Укрексімбанк».
З 26 березня 2014 — голова правління АТ «Ощадбанк», де разом із командою за п'ять років провів комплексну модернізацію, вивівши його в лідери ринку. Чотири роки поспіль «Ощадбанк» стає переможцем комплексного рейтингу «50 провідних банків України» за версією щорічного незалежного дослідження інформаційного агентства «Financial Club».
З 19 березня 2014 року по жовтень 2020 року - голова правління АТ Ощадбанк. 2 жовтня 2020 року наглядова рада Ощадбанку прийняла рішення про припинення з 2 листопада повноважень чинного голови правління Андрія Пишного та призначила з 3 листопада 2020 року на цю посаду Сергія Наумова.
7 жовтня 2022 року Верховна Рада призначила Андрія Пишного головою Нацбанку.
У травні 2007 призначений заступником секретаря РНБО. Звільнений з посади указом президента Віктора Ющенка в червні 2009.
У 2010 зосередився на партійному проекті Арсенія Яценюка «Фронт Змін», де очолив комітет партійного контролю. На парламентських виборах 2012 став заступником керівника штабу «Батьківщини», а в грудні - народний депутат України VII скликання від партії Батьківщина, лідер «групи Яценюка» у фракції «Батьківщини» та першим заступником голови парламентського комітету з питань регламенту.
15 червня 2013, після об'єднання «Фронту змін» і партії «Батьківщина», обраний заступником керівника «Батьківщини».
2009 року (у віці 34 років) Пишний частково втратив слух. Пишний є ініціатором низки соціальних проектів. Зокрема, за його ініціативою створене громадське об'єднання «Відчуй», яке допомагає адаптації людей, які втратили слух або народилися з вадами слуху. Андрій сповідує філософію інклюзивного суспільства, суспільства без бар'єрів. Зокрема, «Ощадбанком» першим у Східній Європі було відкрто банківські відділення, адаптовані для людей з особливими потребами.
Пишний — співавтор благодійного проекту «Мистецтво, що рятує», який реалізується спільно з «Мистецьким арсеналом» та волонтерськими організаціями задля допомоги пораненим бійцям АТО, ООС та жителям прифронтової зони Донбасу.
Від початку російсько-української війни Андрій Пишний увійшов до складу групи Єрмака — Макфола з розробки пакету санкцій проти Російської Федерації. Активно виступає за визнання Росії державою-терористом.
Одружений. Дружина — Людмила Георгіївна — викладач університету. У пари є дві дочки.
07.10.2022