Народився у 1961 у російському селі Будогощ Ленінградської області. З раннього дитинства живе у Києві.
Закінчив курси перекладачів японської мови в Інституті інформації (на «Либідській»).
1983 — закінчив Київський державний педагогічний інститут іноземних мов.
Після школи працював завклубом, завідувачем бібліотеки в санаторії в Пущі-Водиці, діловодом тощо.
Працював випусковим редактором багатотиражки Київського політеху, редактором видавництва «Дніпро».
У віці 24-х років пішов служити на альтернативну службу: з 1985 до 1987 служив охоронцем в Одеській виправній колонії № 51.
Перша публікація — гумореска у київському виданні «Рабочая газета» у 1979 році. Перший сценарій до фільму «Поляна сказок» (працював як «літературний негр»: у титрах сценаристом зазначено Кіра Буличова, який за нього отримав приз на Братиславському кінофестивалі).
Працював сценаристом на кіностудії О. Довженка, викладав у Белл Коледжі (Кембридж, Англія).
З 1988 член англійського ПЕН-клубу. Член Спілки кінематографістів України (з 1993) та Національної спілки письменників (з 1994).
З 1998 — член Європейської кіноакадемії. З 1998 — постійний член журі премії Європейської кіноакадемії «Фелікс».
У 2011 входить до складу журі літературного конкурсу «Юне слово».
Андрій Курков є автором понад 20 книг, серед яких як дорослі романи, так і казки для дітей. Курков також є автором понад 20 сценаріїв для художніх та документальних фільмів. Російськомовне видання його найпопулярнішого роману «Пікнік на льоду» було продано в Україні накладом 150 тисяч примірників. Існує надзвичайно поширений міф ніби Курков є «єдиним російськомовним письменником, чиї книжки потрапили в топ-десятку європейських бестселерів», та навіть сам автор давно спростував це хибне твердження, зазначивши, що, наприклад, російська письменниця Людмила Улицька вже не раз потрапляла у список бестселерів Швейцарії та Німеччини.
Книги Куркова перекладені 36 мовами. Найбільше книжок перекладено німецькою (для Австрії, Німеччини, Швейцарії). Також велику кількість його творів перекладено французькою, англійською, та українською. Водночас письменник стверджує, що його наклади в Україні невеликі порівняно з іноземними накладами.
На початку 2005 року російське видавництвом «Петербургский писатель», що раніше співпрацювало з Курковим, перестало видавати його твори в Росії. Пан Курков вважав такі дії політично вмотивованими, та заявляв, що однією з можливих причин цього були його заяви у пресі під час Помаранчевої Революції, у яких він дав негативну оцінку офіційній політиці Росії щодо втручання в українську політику і зокрема спроби вплинути на результати президентських виборів в Україні 2004 року.
Як виявилося, проблеми з видавництвом книг Куркова в Росії тривали дуже недовго й вже в тому ж 2005-му році романи Куркова знову почали видаватися в Росії, але цього разу видавництвом «Амфора» (Санкт-Петербург). Ба більше, після того як книжки Куркова знову почали видавати в Росії, його також почали запрошують виступати у різні міста Росії, такі як Красноярськ, Москві, та Калінінград. У 2006 році Курков також став членом журі Російської премії (премія для письменників, котрі пишуть російською мовою, але не живуть у Росії). Курков продовжував бути членом журі «Російської премії» щорічно включно до 2013 року. 2011 року після оголошення складу журі «Російської премії—2011», Курков заявив, що «Російська мова споконвіку була певним культурним повітрям, яким дихають творчі люди на всіх континентах нашої планети. Саме „Російська премія“ відслідковує це дихання та допомагає авторам, не зважаючи на відстань, почути дихання один одного.»
В Україні переклади українською мовою творів Куркова виходять у видавництвах «Фоліо» (Харків), НК-Богдан (Тернопіль), Махаон-Україна (Київ), KM Publishing (Київ), Грамота (Київ), Джерела-М (Київ), Нора-Друк (Київ), Президент (Київ), Апріорі (Львів), та ВСЛ (Львів).
У березні 2023 року книга Андрія Куркова «Львівська гастроль Джиммі Хендрікса» у перекладі Рубена Вуллі увійшла до довгого списку Міжнародної Букерівської премії 2023 року.
Одружений з ірландкою Елізабет Шарп (консультант у Британській раді в Україні), виховує трьох дітей.
22.03.2023