Народився 27 липня 1960 року у селищі Бекдаш Красноводського району у Туркменістані.
Сімферопольська філія Дніпропетровського інженерно-будівельного інституту (1977–1982), інженер-будівельник-технолог, «Виробництво будівельних виробів і конструкцій».
Таврійський національний університет імені В. І. Вернадського (2001–2004).
Доктор економічних наук (2013).
З 1982 року – трубоукладач ПМК-40 тресту Перекопхімбуд у Красноперекопську, майстер, заступник начальника цеху заводу КПБ у Тюмені.
З травня 1983 по серпень 1984 року - служба в армії у складі обмеженого контингенту радянських військ у Демократичній Республіці Афганістан.
Вересень — жовтень 1984 — перебуває на перепідготовці офіцерів запасу.
Січень — квітень 1985 — інженер-технолог цеху заводу залізобетонних виробів управління «Кримканалбуд».
Травень 1985 — липень 1989 — начальник цеху, головний інженер Красноперекопського заводу залізобетонних виробів.
Серпень 1989 — березень 1990 — інструктор ідеологічного відділу Красноперекопського міськкому КПУ.
Квітень 1990 — травень 1998 — голова Красноперекопської міськради народних депутатів і виконкому.
З листопада 1994 — керівник організаційної групи зі створення Перекопської вільної економічної зони.
Червень 1995 — грудень 2001 — голова Адміністрації Північно-кримської експериментальної економічної зони «Сиваш».
27 травня 1998 — 24 липня 2001 — голова Ради міністрів Автономної Республіки Крим.
Липень 2001–2002 — радник Президента України.
29 квітня 2002 — 21 квітня 2005 — голова Ради міністрів Автономної Республіки Крим.
1 червня 2006 — 6 квітня 2010 — голова Севастопольської міськдержадміністрації.
6 квітня — 13 жовтня 2010 — Постійний Представник Президента України в Автономній Республіці Крим.
З листопада 2010-го - депутата Верховної Ради АРК VI скликання (обраний в одномандатному мажоритарному окрузі від партії Союз).
З грудня 2012 р. – народний депутат України VII скликання, пройшов до парламенту за списком партії УДАР (за №15). Заступник голови комітету ВР у справах пенсіонерів, ветеранів та інвалідів. Безпартійний.
27 лютого 2014 р. указом в.о. президента Олександра Турчинова знову призначено постійним представником президента в АР Крим. На цій посаді Куніцин змінив Віктора Плакіду.
24 березня 2014 р. Куніцин заявив про те, що "через беззубість влади" ухвалив рішення подати у відставку з посади постпреда президента в Криму, і 26 березня Турчинов підписав указ про його звільнення з формулюванням "за неналежне виконання службових обов'язків".
24 червня 2014 року президент України Петро Порошенко призначив Сергія Куніцина своїм радником.
З 2014 року по серпень 2019 року - народний депутат України VIII скликання, обраний по загальнодержавному багатомандатному округу за списком партії Блок Петра Порошенка. Член депутатської фракції партії Блок Петра Порошенка. Заступник голови Комітету Верховної Ради України з питань соціальної політики, зайнятості та пенсійного забезпечення, голова підкомітету з питань державної політики у сфері соціального захисту громадян.
17 травня 2019 року Петро Порошенко звільнив Сергія Куніцина з посади свого позаштатного радника.
2 червня 2020 року президент Володимир Зеленський призначив Сергія Куніцина головою консультативної ради у справах ветеранів війни, сімей загиблих та померлих захисників України.
З лютого 2004-го – голова Кримської республіканської організації Української спілки ветеранів Афганістану.
У роки СРСР (з 1987-го) був членом КПРС. На початку 1990-х очолював партію "На підтримку Республіки Крим". Пізніше керував Кримською регіональною організацією "порожній тенківської" Народно-демократичної партії.
Був заступником голови партії Віктора Балоги Єдиний центр.
У березні 2012 року став генеральним директором спортивного клубу "Таврія", потім – його президентом. Очолює федерацію футболу Криму. Також є почесним президентом ФК "Хімік" (Красноперекопськ).
Лауреат Державної премії України у галузі науки та техніки за розробку теоретичних засад технології та обладнання виробництва кальцинованої соди та створення промислового комплексу Кримського содового заводу (1999). Почесний громадянин Керчі (з 2004 року).
Нагороджений медалями "За бойові заслуги" (1985), "70 років Збройним силам", "Від вдячного афганського народу", грамотою президії ЗС СРСР, знаком "Воїн-інтернаціоналіст", орденом Св. Станіслава (2000), грамотою виконавчого комітету СН3. Повний кавалер ордена "За заслуги" (1999, 2004, 2007).
Одружений, є син та дочка.
16.07.2023