Народився 2 червня 1938 року у смт Ставище Київської області.
У 1959 закінчив Київський гірничий технікум. 1967 року закінчив Київський державний університет ім. Т. Г. Шевченка (перекладач-референт).
Почав працювати гірничим майстром шахти «Максимівка-Полога» тресту «Кадіїввугілля», місто Кадіївка (Стаханов).
У 1967—1973 рр. — аташе, 2-й секретар відділу міжнародних організацій МЗС УРСР.
З 03.1973 р. — співробітник Секретаріату ЮНЕСКО в Парижі.
З 1979 р. — радник відділу міжнародних організацій у справах ЮНЕСКО МЗС УРСР.
З 10.1983 р. по 03.1987 р. — Постійний Представник УРСР при ЮНЕСКО.
З квітня 1987 р. — заступник міністра, з 07.1989 р. по 07.1990 р. — перший заступник міністра закордонних справ УРСР.
З 07.1990 р. по 25.08.1994 р. — міністр закордонних справ України.
З вересня 1994 р. по 09.1997 р. — Постійний представник України при ООН.
Міністр закордонних справ України Анатолій Зленко з Президентом Ірану Мохаммадом Хатамі 19 липня 2003 рокуЗ 19.09.1997 р. по 02.10.2000 р. — Посол України у Французькій Республіці.
З 19.09.1997 р. по 17.10.2000 р. — Постійний Представник України при ЮНЕСКО, Представник України у Виконавчій раді ЮНЕСКО з 23.11.1998 р.
Надзвичайний і Повноважний Посол України в Португальській Республіці з 14.04.1998 р. по 17.10.2000 р. (за сумісництвом).
Одружений. Разом із дружиною Людмилою Петрівною виростив двох дочок.
Анатолій Зленко помер 1 березня 2021 року. Був похований 4 березня на Байковому кладовищі (ділянка № 42а).
За свої трудові досягнення та особистий внесок у становлення дипломатичної служби і розвиток міжнародних відноси Анатолій Максимович Зленко був удостоєний десятками державних нагород та відомчих відзнак, серед яких Орден «За заслуги» І та ІІ ступеня, Орден князя Ярослава Мудрого V-II ступеня, Орден Почесного Легіону Французької Республіки, Орден «За заслуги» Португальської Республіки, Орден Честі Республіки Грузія.
14.05.2024