Народився в селищі Новодонецьке Добропільської міськради, 2 лютого 1971 року.
У 2000 році закінчив Донецький державний технічний університет, отримав повну вищу освіту за спеціальністю "Розробка родовищ корисних копалин" і отримав кваліфікацію гірничого інженера.
У 2010 став головою селищної ради Новодонецька від «Партії регіонів».
Навесні 2014 відкрито підтримав ДНР, організував і провів в п. Новодонецком незаконний референдум 11.05.2014 про відділення Донбасу від України. Як мер міста перешкоджав патріотичному автопробігу прихильників єдності України в квітні 2014.
До кінця 2014 проживав в Криму, ховаючись від можливого переслідування.
У 2015 обраний міським головою Добропілля як самовисуванець.
У 2017 році було опубліковане розслідування програми «Донбасс. Реалии» про те, як Аксьонов отримав російський паспорт. Народний депутат Дмитро Лубінець опублікував документальне підтвердження того, як влітку 2014 року Андрій Аксьонов нібито виїхав до окупованого Криму, де подав до місцевої «адміністрації» заявку на отримання громадянства Росії. Місцем проживання в заяві мер вказав місто Севастополь.
У жовтні 2018 Аксьонова оголосили у розшук за звинуваченні у підробці документів та розтраті майна, але він не з'являвся на судові засідання, а також покинув Добропілля і виїхав за кордон. У січні 2019 року повернувся до України. Краматорський міський суд обрав запобіжний захід у вигляді нічного домашнього арешту, який вже у березні замінили на особисте зобов'язання.
З січня по квітень 2019 року був відсторонений від посади міського голови.
На парламентських виборах 2019 року програв менш ніж 1,5 % Руслану Требушкіну.
У 2020 році переобрався на посаду міського голови Добропілля.
На довиборах у Верховну Раду у Донецькій області, 28 березня 2021 року обраний народним депутатом від партії Порядок. 19 травня Андрій Аксьонов офіційно склав присягу народного депутата України.
Одружений, батько чотирьох дітей.
19.05.2021