Народився 1 січня 1953 року у селі Жизняківці Білогірського району Хмельницької області.
Після закінчення школи служив в армії, де займався спортом – отримав звання кандидата у майстри спорту з самбо.
Наприкінці 1970-х років закінчив Донецьку школу міліції.
Після школи міліції був направлений на роботу до органів внутрішніх справ Києва.
У 1998-2000 pp. керував департаментом зовнішнього нагляду Міністерства внутрішніх справ України.
У 2000-2003 роках очолював головне управління карного розшуку МВС України.
Учасник ліквідації наслідків аварії на ЧАЕС
Генерал-лейтенант міліції (позбавлений звання судом).
Судом встановлено, що 17 вересня 2000 року Олексій Пукач на виконання явно злочинного усного наказу, за попередньою змовою з Протасовим М. К., Костенком В. М. та Поповичем О. В., навмисне вбив журналіста Георгія Гонгадзе.
У 2003 році ім'я Пукача фігурувало у справі про викрадення та вбивство відомого журналіста Георгія Гонгадзе. Пукача було затримано Генеральною прокуратурою України за звинуваченням у знищенні документів, що свідчать про стеження за Гонгадзе у травні-липні 2000 року. Також під підозру слідчих потрапив той факт, що Пукач у 2003 році з невідомої причини отримав у Києві нову трикімнатну квартиру в елітному будинку. У листопаді цього року Пукач був звільнений під підписку про невиїзд, але тут же зник. Прокуратура оголосила його у міжнародний розшук, і у 2005 році заочно звинуватила у вбивстві Гонгадзе. У 2003-2009 роках про реальне місцеперебування Пукача не було відомо.
21 липня 2009 року Олексія Пукача було затримано Генпрокуратурою та СБУ в селі Молочки Чуднівського району Житомирської області. Він жив там зі співмешканкою. Пукач відразу зізнався і почав давати свідчення.
29 січня 2013 року Печерський суд Києва ухвалив вирок Пукачу у справі про вбивство журналіста Георгія Гонгадзе. Згідно з вироком він був засуджений до довічного ув'язнення.
На початок 2016 року вирок було залишено чинним Апеляційним судом, а влітку Пукача етапували до Чортківської колонії до Тернопільської області.
2 липня 2021 року Верховний Суд залишив у силі довічне ув'язнення для Олексія Пукача.
Розлучений, має двох дочок-близнюків.
25.05.2023