Народився 30 серпня 1976 року у м. Козелець, Чернігівській області.
1998 році закінчив Національний педагогічний університет ім. М. П. Драгоманова за спеціальністю «Всесвітня історія».
Червень 1999 — квітень 2000 року — строкова служба в Національній гвардії України.
2002—2015 — працював на оперативних та керівних посадах в Головних управліннях СБУ в м. Києві та Київській і Донецькій областях.
Станом на 2014 рік перебував на посаді заступника начальника Головного управління Служби безпеки України у м. Києві та Київській області.
З березня 2015 – 21 серпня 2017 року – начальник Донецького Управління Служби безпеки України. Під час війни на Донбасі завданням Куця було виявлення та викриття зрадників у лавах Донецького УСБУ, завербованих російською розвідкою.
21 серпня 2017 року - начальник новооб'єднаного Головного управління Служби безпеки України в Донецькій та Луганській областях.
20 червня 2018 року Кабінет міністрів затвердив генерала на посаді голови Донецької обласної державної адміністрації.
5 липня 2019 року президент Володимир Зеленський звільнив Олександра Куця з посади голови Донецької облдержавної адміністрації та призначив на неї Павла Кириленка .
19 липня 2022 року Володимир Зеленський призначив Олександра Куця начальником управління СБУ у Харківській області.
Дружина Куць Олена Олександрівна – помічник судді Апеляційного суду Дніпропетровської області. Син – Герман.
У 2014 році нагороджений Почесною грамотою Київської обласної державної адміністрації.Орден «За заслуги» III ступеня (2019).
08.07.2019