Народився 29 жовтня 1961 року у Києві. Дитинство пройшло на масиві Русанівка.
У 1978 році, відразу після закінчення школи не зміг вступити до Київського Театрального інституту імені Карпенка-Карого, оскільки не був комсомольцем. У 1978—1979 роках працював у театрі імені Лесі Українки монтувальником, підсобним робітником у костюмерному цеху. У театрі завдяки Аді Роговцевій познайомився з її чоловіком — актором і педагогом Костянтином Степанковим.
У 1984 році закінчив Київський інститут театрального мистецтва ім. Карпенка-Карого (курс Костянтина Степанкова). У своєму першому фільмі «Вантаж без маркування» Олексій почав зніматися в день вручення диплома.
У 1984—1995 роках був актором театру-студії кіноактора кіностудії імені Олександра Довженка. У 1985—1987 роках служив у Радянській армії. У 1990-х працював приватним таксистом через кризу на кіностудії Довженка. Повернутися до зйомок у кіно допоміг режисер Володимир Попков, запросивши на роль блазня Шико в багатосерійний телефільм «Графиня де Монсоро».
Працював у театрі-студії кіноактора, в приватному Камерному театрі М. Нестантінера та Київському театрі російської драми ім. Лесі Українки. Вів на українському ТБ програми «Нічний будильник» (1998) і «Чудо-люди» (2008). Грав у антрепризних постановках Олега Меньшикова Театральне товариство 814. Зіграв одну з ролей у серіалі «Гвардія».
Іноді з'являється у відео Optimus Gang з хлопцями-блогерами на YouTube.
Організатор і ведучий двох дискотек «Джанкой» і «Джуманджі» в Києві. Працював діджеєм на київських радіостанціях «Континент» та «Ностальжи». Олексій є солістом гурту «Грусть пилота».
Пресслужба Житомирської обласної ради повідомила, що четвертого лютого 2021 року фронтмен гурту «Грусть пилота» разом з іншими учасниками колективу виступали для військовослужбовців 95-ї окремої десантно-штурмової бригади, членів їх родин, а також курсантів Житомирського військового інституту імені Сергія Павловича Корольова. Артист виконав міні спектакль-концерт.
3 грудня 2014 року, під час російсько-української війни відмовився від участі в усіх російських фільмах. Згодом пан Горбунов заявив, що не розглядатиме можливості роботи в Росії до закінчення війни.
Перша дружина — художниця Світлана Лопухова. Донька — Анастасія Горбунова.Друга дружина — Ірина Ковальова. Донька — Софія Горбунова.
14.02.2023