Народився у 1951 році у Валенсії.
У 1974 році закінчив Університет Валенсії.
З 1989 року — член Народної партії, в 1990—1993 роках очолював відділення партії у Валенсії.
З 1993 року — член Сенату Іспанії — верхньої палати парламенту Іспанії.
З 2000 року — у складі іспанської делегації в Парламентській асамблеї Ради Європи (ПАРЄ).
У 2016 році обраний головою ПАРЄ, змінивши на цьому посту Анн Брассер. У 2017 році переобраний на посаду голови ПАРЄ на другий термін.
28 квітня 2017 року Бюро ПАРЄ висловило вотум недовіри Аграмунту. Ініціатори цього кроку посилалися на те, що він "утратив довіру" колег. Цей захід пішов після поїздки Аграмунта до Сирії разом із делегацією російських парламентаріїв.
26 червня група Європейської народної партії у Парламентській асамблеї Ради Європи, яку представляє Аграмунт, оголосила йому недовіру. Наступного дня Парламентська асамблея Ради Європи внесла до свого регламенту процедуру імпічменту президента, що відкрило можливість відставки Аграмунта.
6 жовтня 21017 Аграмунт подав у відставку.
06.10.2017