Народився 18 липня 1973 року в селі Романківці, що на Черкащині.
Олексій Кошель історик за освітою. Pакінчив Кам’янець-Подільський педагогічний інститут в 1995 році. Проходив стажування у США та Німеччині (Академія Середнього Заходу, Академія Клаузенгоф).
Кандидат історичних наук.
1996 року — прес-секретар Комітету виборців України.
1996 – 2004 рр. – головний редактор газети КВУ «Точка зору».
1999 – 2005 рр. - Заступник голови правління Комітету виборців України. Займався моніторингом за виборами на Північному Кавказі.
2005 р. заввідділом моніторингу стратегічних проектів головної аналітичної служби секретаріату Президента України.
2006-2008 рр. — директор аналітичного центру «Рада» у ТОВ «Еволюшн медіа» (власники С.Тарута та В.Гайдук). Нині викладає політологію в Києво-Могилянській академії.
З літа 2008 року працює заступником голови секретаріату "Єдиного Центру" з аналітичних питань.
18 листопада 2014 року Кошель призначений новим генеральним директором "Комітету виборців України" замість Олександра Черненка. Попередній голова КВУ Черненко залишив посаду у зв'язку з обранням до Верховної Ради України. Черненко пройшов до Ради за списком партії "Блок Петра Порошенка" (21-й номер).
26.10.2015