Народився 23 квітня 1986 року в місті Київ.
У 2009 році закінчив Київський національний університет імені Тараса Шевченка і отримав диплом юриста з відзнакою.
З квітня 2009 року Ігор працював у Державному науково-дослідному інституті митної справи.
Протягом півтора року Алексєєв був науковим співробітником відділу планування, реєстрації, обліку і експертизи науково-дослідних робіт і дисертацій, а також науковим співробітником наукового відділу правових проблем митної справи.
З листопада по грудень 2012 року майбутній парламентарій працював юристом в адвокатській компанії "МЛГруп".
У 2012 році балотувався до Верховної Ради 7 скликання від ВО "Батьківщина".
З 2012 по 2014 рік був помічником народного депутата України Павла Петренка.
З травня по листопад 2014 року був заступником міністра юстиції України.
Народний депутат 8 скликання. Обраний у 2014 році від партії "Народний Фронт" (№ 64 у виборчому списку). Голова підкомітету з питань діяльності органів юстиції Комітету ВРУ з питань правової політики та правосуддя.
Кандидат у народні депутати від партії «Українська Стратегія Гройсмана» на парламентських виборах 2019 року, № 18 у списку.
Одружений. Дружина — український правник, кандидат юридичних наук, доцент кафедри правосуддя Київського Національного Університету імені Тараса Шевченка, спеціаліст в галузі медіації в кримінальному процесі України. Разом із дружиною виховує сина.
11.12.2019