Народився 29 червня 1954 року на острові Сахалін, в місті Невельськ. У дитинстві разом з батьками переїхав до Одеси.
1975 року закінчив Одеський інститут народного господарства. Заслужений економіст України. Доктор економічних наук.
Служив у радянській армії.
У різні часи працював завкафедрою Одеського інституту інженерів морського флоту, начальником відділу нових форм господарювання та заступником голови виконкому Київського району Одеси, головою одеського міського комітету з питань приватизації.
Обирався народним депутатом України ІІІ скликання (за списком блоку "СПУ-СелПУ"). На момент виборів працював головним економістом спільного підприємства Ірен. У Верховній Раді з лютого 2000-го очолював Комітет з питань економічної політики, управління народним господарством, власності та інвестицій.
У червні 2001 року президент Леонід Кучма призначив Олексія Костусєва Головою Антимонопольного комітету України (АМКУ), яким він керував 7 років.
З 2004 року голова Міждержавної ради з питань антимонопольної політики країн - членів СНД.
Політичні симпатії Олексія Костусєва неодноразово змінювалися. Отримавши мандат нардепа за допомогою блоку СПУ-СелПУ, у парламенті він влився до депутатської групи Трудової України, став членом партії та її політвиконкому. У жовтні 2004-го Олексій Костусєв очолив партію Союз, до якої, за словами самого голови АМКУ, мали відношення нардепи та великі бізнесмени Лев Миримський та Василь Хмельницький, який пізніше опинився у виборчому списку та фракції БЮТ. Костусєв говорив, що партія під його керівництвом на парламентські вибори-2006 піде самостійно. Однак у грудні 2005-го він залишив Союз, вступив до Партії регіонів і навіть був удостоєний членства у президії політради ПР.
Навесні 2006 року за списком Партії регіонів Олексій Костусєв повторно пройшов у депутати парламенту. Після формування антикризової коаліції та уряду на чолі з лідером "регіоналів" Віктором Януковичем прийняв пропозицію повернутися на посаду голови АМКУ, на якій після "помаранчевої революції" йому працювалося не цілком комфортно. Олексій Костусєв навіть заявляв, що його будь-що хочуть "піти" з посади, для чого організували комплексну перевірку силами Генпрокуратури.
Будучи головою комітету, обіймав низку посад на державному та міждержавному рівнях. Зокрема був членом Міжвідомчої комісії з питань інформаційної політики та інформаційної безпеки при РНБОУ; офіційним представником України у Міжурядовій групі експертів з питань конкурентної політики та законодавства ЮНКТАД; членом Ради з питань співробітництва між Україною та Євросоюзом; членом українсько-американського Комітету з питань економічного співробітництва; членом українсько-французької Комісії з питань економічного співробітництва.
АМКУ під керівництвом Олексія Костусєва у різний час із тією чи іншою результативністю боровся з підвищенням цін на бензин, м'ясо та хліб, вартості залізничних перевезень та тарифів на житлово-комунальні послуги. Сам голова комітету однієї з "колосальних" перемог вважав зниження вартості послуг Western Union із переказу грошей з-за кордону в Україну.
На дострокових парламентських виборах 2007 року пройшов у депутати Верховної Ради за №30 списку Партії регіонів. Очолив підкомітет із питань економічної конкуренції та антимонопольної політики Комітету ВР з питань економічної політики. Понад півроку поєднував депутатський мандат із кріслом голови АМКУ. У червні 2008 року Кабмін Юлії Тимошенко призначив в.о. голови Антимонопольного комітету Олександра Мельниченка , який обіймав посаду першого заступника Костусєва.
1 квітня 2010 р. після перемоги на президентських виборах Віктора Януковича та формування Кабміну Миколи Азарова Олексій Костусєв повернувся у крісло голови АМКУ. Однак після того, як 31 жовтня його було обрано мером Одеси, Олексій Костусєв прийняв рішення залишити посаду голови комітету. 14 грудня ВР звільнила його з посади голови АМКУ.
31 жовтня 2013 року Олексій Костусєв написав заяву про складання повноважень Одеського міського голови. Відставку було прийнято на позачерговій сесії Одеської міської ради 4 листопада 2013 року.
Нагороджений орденом "За заслуги" ІІІ та ІІ ступенів, орденом святого Рівноапостольного князя Володимира ІІ та ІІІ ступенів.
Олексій Костусєв автор понад 150 наукових та навчально-методичних праць, зокрема, монографії "Політика та політологія" (1998), "Конкурентна політика в Україні" (2004).
Захоплюється історією.
Політик одружений, має дочку. Від першого шлюбу є син Олексій Гончаренко, народний депутат України.
28.10.2015