Народився 10 січня 1969 року, м. Харків.
1985—1992 рр. — навчання у Харківському інституті інженерів міського господарства за напрямком: «Економіка і управління в будівництві», спеціальність «інженер-економіст».
1987—1989 рр. — служба у лавах Радянської армії (війська зв'язку).
1992—1995 рр. — комерційний директор із зовнішньоекономічної діяльності ТОВ «Промприбор ЛТД».
1995—2000 рр. — фінансовий та генеральний директор спільного українсько-грецького підприємства «Медоптика».
2000—2004 рр. — комерційний директор, директор ТОВ «Арт-Оптика».
2004—2005 рр. — директор ТОВ «Мікко Пласт».
2005—2007 рр. — директор ТОВ Підприємство з іноземними інвестиціями «ОЛДІ».
2007—2011 рр. — приватний підприємець.
2011—2013 рр. — директор ТОВ «ТНС».
2013—по 2014 рр. — директор ТОВ «ХАРПЕТ».
Народний депутат 8 скликання. Обраний у 2014 році від партії “Блок Петра Порошенка” (№50 у списку). Голова підкомітету з питань акцизного податку та законодавчого регулювання ринку спирту, алкоголю і тютюну Комітету Верховної Ради України з питань податкової та митної політики.
Після початку бойових дій на Сході України, Кобцев став волонтером. Він створив громадську організацію «Волонтерська група Михайла Кобцева, яка займається забезпеченням українських військових, які перебувають у зоні бойових дій водою, транспортом, медичними препаратами та багатьом іншим.
Михайло одружений. Дружина є власницею ТОВ "Сучасні системи упаковки" - надання в оренду та експлуатацію власного чи орендованого нерухомого майна, а також має частку (35%) в ТОВ "ТОП-ГУДС" - оптова торгівля товарами господарського призначення.
У Кобцевих є син Марк.
17.12.2014